Question

16．已知x≥1，则函数y=f（x）=$\frac{{4{x^2}-2x+16}}{2x-1}$的最小值为9，此时对应的x值为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 令2x-1=t≥1，则x=$\frac{1+t}{2}$．代入可得函数y=f（x）=$\frac{4×\frac{（1+t）^{2}}{4}-2×\frac{1+t}{2}+16}{t}$=t+$\frac{16}{t}$+1，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：令2x-1=t≥1，则x=$\frac{1+t}{2}$．
∴函数y=f（x）=$\frac{{4{x^2}-2x+16}}{2x-1}$=$\frac{4×\frac{（1+t）^{2}}{4}-2×\frac{1+t}{2}+16}{t}$=t+$\frac{16}{t}$+1≥2$\sqrt{t•\frac{16}{t}}$+1=9，当且仅当t=4，即x=$\frac{5}{2}$时取等号．
故答案为：9，$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、基本不等式的性质、“换元法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．