Question

1．如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=7$\sqrt{3}$，CD=14，BD=7，∠BAD=120°．
（1）求AD边的长；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）在△ABD中，由已知及余弦定理即可解得AD的值．
（2）利用勾股定理可求∠CBD=90°，利用余弦定理可求cos∠ABD的值，利用诱导公式可求sin∠ABC，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）在△ABD中，由余弦定理，
可得：BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos120°，
即：7²=3²+AD²-2×$3×AD×（-\frac{1}{2}）$，
解得：AD=5或-8（舍去），
故AD=5．
（2）由已知，BC²+BD²=CD²，
所以，∠CBD=90°，
在△ABD中，由余弦定理，得$cos∠ABD=\frac{{A{B^2}+B{D^2}-A{D^2}}}{2AB•BD}=\frac{{{3^2}+{7^2}-{5^2}}}{2×3×7}=\frac{11}{14}$，
所以$sin∠ABC=sin（{∠ABD+90°}）=cos∠ABD=\frac{11}{14}$，
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AB•BC•sin∠ABC=\frac{1}{2}×3×7\sqrt{3}×\frac{11}{14}=\frac{{33\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，勾股定理，诱导公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和计算能力，属于中档题．