Question

14．已知函数f（x）=x²+2ax+3，x∈[-2，2]
（1）当a=-1时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）记f（x）在区间[-2，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质即可求出最值．
（2）借助于函数的图象研究单调性，确定最小值，主要是从开口方向、对称轴与区间的关系来确定函数的最小值．

解答 解：（1）a=-1时，f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2
∵对称轴x=1∈[-2，2]，
∴f（x）_min=f（1）=2，f（x）_max=f（-2）=11，
（2）f（x）=x²+2ax+3=（x+a）²+3-a²，
∴该函数在区间（-∞，-a]上递减，在[-a，+∞）上递增，
①当-a＜2，即a＞2时，f（x）在[-2，2]上单调递增，故g（a）=f（-2）=7-4a；
②当-2≤a≤2时，f（x）在[-2，-a]上递减，在[-a，2]上递增，∴g（a）=f（2）=3-a²；
③当-a＞2，即a＜-2时，f（x）在[-2，2]上递减，∴g（a）=f（2）=7+4a，
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{7+4a，a＜-2}\\{3-{a}^{2}，-2≤a≤2}\\{7-4a，a＞2}\end{array}\right.$

点评 本题考查了二次函数在指定区间上的最值问题，利用对称轴与区间的关系讨论单调性，再求最值．