Question

定义在R上的奇函数y=f（x） 满足f（3）=0，且不等式f（x）＞-xf′（x）在（0，+∞）上恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点个数为

 

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Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件构造函数，利用导数和函数单调性之间的关系．结合数形结合即可得到结论．

解答： 解：∵不等式f（x）＞-xf′（x）在（0，+∞）上恒成立，
∴不等式f（x）+xf′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
即[xf（x）]′=f（x）+xf′（x）＞0，
即xf（x）在（0，+∞）递增，
∵在R上的奇函数y=f（x） 满足f（3）=0，
∴xf（x）为偶函数且有一个零点为3，
令g（x）=0得xf（x）=-lg|x+1|，
如图可知g（x）有3个零点，
故答案为：3

点评：本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．注意要数形结合．