Question

在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x-4）²+y²=1，若直线y=kx-3上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：计算题,直线与圆

分析：圆C的方程表示以C（4，0）为圆心，半径等于1的圆．由题意可得，直线y=kx-3和圆C′：即（x-4）²+y²=9有公共点，由点C′到直线y=kx-3的距离为d≤3，求得实数k的最大值．

解答： 解：圆C的方程为：（x-4）²+y²=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；
又直线y=kx-3上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C有公共点，
∴只需圆C′：（x-4）²+y²=9与直线y=kx-3有公共点即可．
设圆心C（4，0）到直线y=kx-3的距离为d，
则d=

|4k-2|

1+k2

≤3，即7k²-24k≤0，
∴0≤k≤

24

7

，
∴k的最大值是

24

7

．
故答案为：

24

7

．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．