题目内容

已知函数f（x）=[2sin（x+
π
3
）+sinx]cosx-
3
sin2x．
（1）若函数y=f（x）的图象关于直线x=a（a＞0）对称，求a的最小值；
（2）若函数y=mf（x）-2在x∈[0，
5π
12
]存在零点，求实数m的取值范围．
考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）=2sin（2x+
π
3
），由函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称，可得2a+
π
3
=kπ+
π
2
 k∈z，由此求得a的最小正值．
（2）设x0∈[0，
5π
12
]，由mf（x0）-2=0，可得 m=
1
sin(2x0+
π
3
)
，再利用正弦函数的定义域和值域求得sin（2x0+
π
3
）的范围，可得m的范围．
解答： 解：（1）函数f（x）=[2sin（x+
π
3
）+sinx]cosx-
3
sin2x=2sinxcosx+
3
cos2x-
3
sin2x=sin2x+
3
cos2x=2sin（2x+
π
3
）．
又因为函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称，
所以2a+
π
3
=kπ+
π
2
 k∈z，即a=
kπ
2
+
π
12
．
又因为a＞0，所以a的最小值为
π
12
．
（2）设x0∈[0，
5π
12
]，满足mf（x0）-2=0，可得 m=
2
f(x0)
=
1
sin(2x0+
π
3
)
，
∵
π
3
≤2x0+
π
3
≤
7π
6
，∴-
1
2
≤sin（2x0+
π
3
）≤1，
∴m∈（-∞，-2]∪[1，+∞）．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；
（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±
3
4
x，准线方程为x=±
16
5
，求该双曲线的标准方程．
定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=
log2(4-x)，x≤0
f(x)-f(x-1)，x＞0
，计算f（200）的值等于
 
．
由点P（1，1）发出光线射到直线x+y=-1上，反射后过点Q（2，3），则反射光线所在直线的一般方程为
 
．
若0≤x≤3，则y=x2-4x+3（　　）
A、有最小值0，最大值3
B、有最小值-1，最大值0
C、有最小值-1，最大值1
D、有最小值-1，最大值3
设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给定下列四个命题
（1）若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n 
（2）若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β
（3）若m?α，n?β且m∥n，则α∥β  
（4）若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n
其中所有正确的命题为
 
．（写出所有正确命题的编号）
已知正方体的外接球的半径为1，则这个正方体的棱长为（　　）
A、
2
3
B、
3
3
C、
2
2
3
D、
2
3
3
已知函数f（x）=22x+1-m•2x+m．（m∈R）
（1）若函数f（x）在区间[0，2]有两个零点，求m的范围；
（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）的最小值为1，求m的值．
已知函数f（x）=
(a-3)x+3a，x＜1
logax，x≥1
是（-∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（　　）
A、[
3
4
，1）
B、（1，3）
C、（0，1）
D、（0，3）

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