Question

已知m²sinα+mcosα-2=0，n²sinα+ncosα-2=0（m，n，α∈R，m≠n），直线l过点P（m，m²），Q（n，n²），则直线l被圆（x-cosα）²+（y-sinα）²=9所截得的弦长为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：由已知条件得到m+n与mn的表达式，再求两点所在的直线方程，表示圆心到直线的距离，与半径比较大小即可．

解答： 解：由题意可得，m、n是方程x²sinα+xcosα-2=0的两个根，∴m+n=-cotα，mn=

-2

sinα

．
过（m，m²），（n，n²）两点的直线l方程为：

y-n2

m2-n2

=

x-n

m-n

，
即：（m+n）x-y-mn=0，即l：-cotαx-y-

-2

sinα

=0，即 cotαx+y-

2

sinα

=0．
∴圆心（cosα，sinα）到直线l的距离 

|cotα•cosα+sinα- 2 sinα |

cot2α+1

=

|cos2α+sin2α-2|

cos2α+sin2α

=1，
而圆的半径等于3，故弦长为2

32-12

=4

2

，
故答案为：4

2

．

点评：本题考察直线与圆的位置关系，间接考察韦达定理和直线方程，注重知识的联系．属于基础题．