Question

已知向量

m

=（cosx，sinx），

n

=（cosx，

3

cosx），函数f（x）=

m

•

n

+a（a∈R且a为常数）
（1）若f（x）在[0，

π

2

]上的最大值与最小值的和为2，求a的值；
（2）A、B、C是△ABC的三个内角，且f（A）=a+1，若

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，求tanC的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）由向量的数量积与三角恒等变换求出f（x）的解析式，再求出f（x）在[0，

π

2

]上的最值，从而求出a的值；
（2）根据f（A）=a+1，求出A的值，

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3求出tanB的值，再求出tanC的值即可．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（cosx，sinx），

n

=（cosx，

3

cosx），
∴f（x）=

m

•

n

+a
=cos²x+

3

sinxcosx+a
=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x+a
=sin（2x+

π

6

）+a+

1

2

；
又∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴a≤sin（2x+

π

6

）+a+

1

2

≤a+

3

2

；
∴a+（a+

3

2

）=2，
解得a=

1

4

；
（2）∵f（A）=sin（2A+

π

6

）+a+

1

2

=a+1，
∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

；
又∵A是△ABC的内角，
∴0＜A＜π，
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，
解得A=

π

3

；
又∵

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，
∴

(sinB+cosB)2

cos2B-sin2B

=

sinB+cosB

cosB-sinB

=

tanB+1

1-tanB

=-3，
解得tanB=2；
∴tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）
=-

tan π 3 +tanB

1-tan π 3 •tanB

=-

3 +2

1- 3 ×2

=

8+5 3

11

．

点评：本题考查了三角函数的恒等变换问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题和平面向量的应用问题，是综合题目．