Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P为C₁D₁的中点，则二面角P-AC-D的余弦值是（　　）

• A、

  1

  3

• B、-

  1

  3

• C、

  4

  9

• D、-

  4

  9

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角

专题：空间角

分析：设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AC-D的余弦值．

解答： 解：设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，1，2），

AC

=（-2，2，0），

AP

=（-2，1，2），
设平面APC的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AC =-2x+2y=0 n • AP =-2x+y+2z=0

，
取x=1，得

n

=（1，1，

1

2

），
由题意知ADC的法向量

m

=（0，0，1），
cos＜

m

，

n

＞=

1 2

1+1+ 1 4

=

1

3

，
∴二面角P-AC-D的余弦值是

1

3

．
故选：A．

点评：本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．