Question

已知函数f（x）对于任意实数x，y，总有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时f（x）＞0，f（1）=-2
（1）求f（-1）；
（2）求证：f（x）在R上是减函数；
（3）求f（x）在[-4，4]上最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,抽象函数及其应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）可在恒等式中令x=y=0，即可解出f（0）=0，由奇函数的定义证明出f（-x）=-f（x），问题迎刃而解；
（2）由题设条件对任意x₁、x₂在所给区间内比较f（x₂）-f（x₁）与0的大小即可得出f（x）在R上是减函数；
（3）根据单调性得出函数的最值即可．

解答： （1）解：令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）=0．∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为奇函数，
∴f（-1）=-f（1）=2；
（2）证明：任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0．
∴由已知得f（x₂-x₁）＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁）＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在R上是减函数．
（3）解：f（x）在[-4，4]上单调递减，
∵f（4）=4f（1）=-8，f（-4）=8
∴当x∈[-4，4]时，f（x）_max=8，f（x）_min=-8．

点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查用赋值法求函数值证明函数的奇偶性，以及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性，此类题要求答题者有较高的数学思辨能力，能从所给的条件中组织出证明问题的组合来．