Question

2014年，某市要全部实行居民社保一卡通，为了加快办理进程，某社保服务站开设四类业务，假设居民办理各类业务所需的时间相互独立，且都是整数分钟，经统计以往100位居民办理业务所需的时间t（分钟），如下表

类别	A类	B类	C类	D类
居民数（人）	10	30	40	20
时间t（分钟/人）	2	3	4	6

注：服务站工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．
（Ⅰ）求服务站工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位居民的业务的概率；
（Ⅱ）用X表示至第4分钟末已办理完业务的居民人数，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）设Y表示服务站工作人员办理业务所需时间，用频率估计概率，得Y的分布，A表示事件“服务站工作人员在第6分钟开始办理第三位居民业务”，则事件A对应两种情形：①办理第一位业务所需时间为2分钟，且办理第二位业务所需时间为3分钟，②办理第一位业务所需时间为3分钟，且办理第二位业务所需时间为2分钟，由此能求出服务站工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位居民的业务的概率．
（2）X的取值为0，1，2，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）设Y表示服务站工作人员办理业务所需时间，
用频率估计概率，得Y的分布如下：

Y	2	3	4	6
P	1 10	3 10	2 5	1 5

A表示事件“服务站工作人员在第6分钟开始办理第三位居民业务”，
则事件A对应两种情形：
①办理第一位业务所需时间为2分钟，且办理第二位业务所需时间为3分钟，
②办理第一位业务所需时间为3分钟，且办理第二位业务所需时间为2分钟，
∴P（A）=P（Y=2）P（Y=3）+P（Y=3）P（Y=2）
=

1

10

×

3

10

+

3

10

×

1

10

=

3

50

．
（2）X的取值为0，1，2，
P（X=0）=P（Y＞4）=

1

5

，
P（X=1）=P（Y=2）P（Y＞2）+P（Y=3）+P（Y=4）
=

1

10

×

9

10

+

3

10

+

2

5

=

79

100

，
P（X=2）=P（Y=2）P（Y=2）=

1

10

×

1

10

=

1

100

，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	1 5	79 100	1 100

EX=0×

1

5

+1×

79

100

+2×

1

100

=

81

100

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期的望的求法，解题时要认真审题，是中档题．