Question

已知数列{a_n}，若a₁，a₂-a₁，a₃-a₂，a₄-a₃，…，a_n-a_n-1是公比为2的等比数列（a₁是常数），则{a_n}的前n项和S_n等于

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：依题意可得a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）=a₁（2ⁿ-1），利用分组求和法即可求得{a_n}的前n项和S_n．

解答： 解：依题意得：a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）=

a1(1-2n)

1-2

=a₁（2ⁿ-1），
即a_n=a₁（2ⁿ-1），
∴S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n
=a₁（2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n）
=a₁[

2(1-2n)

1-2

-n]
=a₁[2ⁿ⁺¹-（n+2）]．
故答案为：a₁[2ⁿ⁺¹-（n+2）]．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的求和公式的应用，考查分组求和，求得a_n=a₁（2ⁿ-1）是关键，属于中档题．