对于数集X={-1.x1.x2.-.xn}.其中0＜x1＜x2＜-＜xn.n≥2.定义向量的集合Y={a|a=(s.t).s∈X.t∈X}.若对任意a1∈Y.存在a2∈Y.使得al•a2=0.则称X具有性质P．例如{-1.1.2}具有性质P．若X具有性质P.且x1=1.x2=q.则有穷数列x1.x2.-.xn的通项公式为( ) A.xi=qi-1.i=1.2. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

对于数集X={-1，x₁，x₂，…，x_n}，其中0＜x₁＜x₂＜…＜x_n，n≥2，定义向量的集合Y={

=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意

₁∈Y，存在

₂∈Y，使得

_l•

₂=0，则称X具有性质P．例如{-1，1，2}具有性质P．若X具有性质P，且x₁=1，x₂=q（q为常数），则有穷数列x₁，x₂，…，x_n的通项公式为（　　）

A、xi=qi-1，i=1，2，…，n

B、xi=1+(i-1)(q-1)i-1，i=1，2，…，n

C、x_i=1+（i-1）q，i=1，2，…，n

D、xi=

q-2

i2+

4-q

i，i=1，2，…n

考点：数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：解法一：猜想：x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n．记A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}，k=2，3，…，n．先证明若A_k+1具有性质P，则A_k也具有性质P．再利用“数学归纳法”证明即可；
解法二：设

=（s₁，t₁），

=（s₂，t₂），则

•

=0等价于

．记B={

|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，数集X具有性质P?数集B关于原点对称．注意到-1是集合X中唯一的负数，B∩（-∞，0）={-x₂，-x₃，-x₄，…，-x_n}，共有n-1个数．B∩（0，+∞）也有n-1个数．证明即可．

解答： 解：解法一：猜想：x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n
记A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}，k=2，3，…，n
先证明若A_k+1具有性质P，则A_k也具有性质P．
任取

=（s，t），s、t∈A_k，当s、t中出现-1时，显然有

满足

•

=0．
当s、t中都不是-1时，满足s≥1且t≥1．
∵A_k+1具有性质P，∴有

=（s₁，t₁），s₁、t₁∈A_k+1，使得

•

=0．从而s₁、t₁其中有一个为-1．
不妨设s₁=-1，
假设t₁∈A_k+1，且t₁∉A_k，则t₁=x_k+1．由（s，t）（-1，x_k+1）=0，得s=tx_k+1≥x_k+1，与s∈A_k矛盾．
∴t₁∈A_k，从而A_k也具有性质P．
再用数学归纳法，证明x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n
当n=2时，结论显然成立；
假设当n=k时，A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}具有性质P，则x_i=q^i-1，i=1，2，…，k
当n=k+1时，若A_k+1═{-1，x₁，x₂，…，x_k+1}具有性质P，则A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}具有性质P，
∴A_k+1═{-1，q，q²，…，q^k-1，x_k+1}．
取

=（x_k+1，q），并设

=（s，t）∈Y，满足

•

=0．，由此可得s=-1或t=-1
若t=-1，则x_k+1=