Question

已知动圆过定点A（2，0），且在y轴上截得的弦长|MN|=4．
（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程；
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l交圆心C的轨迹于点A，B，且|AB|=5，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设圆心C（x，y），点C到y轴的距离为d，则d=|x|，利用勾股定理求动圆圆心C的轨迹方程；
（Ⅱ）分类讨论，设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0）与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合|AB|=5，求直线AB的方程．

解答： 解：（Ⅰ）设圆心C（x，y），点C到y轴的距离为d，则d=|x|
由|CA|2=(

|MN|

2

)2+d2即（x-2）²+y²=4+|x|²
化简得y²=4x，即为所求轨迹方程．
（Ⅱ）焦点F（1，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
若AB⊥x轴，则|AB|=2p=4＜5，所以直线AB的斜率k存在．
设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0）
由

y=k(x-1) y2=4x

消去y得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0x1+x2=

2k2+4

k2

⇒|AB|=x1+x2+p=

2k2+4

k2

+2=5∴k=±2
所以直线AB的方程为y=2（x-1）或y=-2（x-1）．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与抛物线的位置关系，正确运用韦达定理是关键．