Question

已知x∈R，P=e^x+e^-x，Q=（sinx+cosx）²，下面的关系式一定成立的是（　　）

• A、?x₀∈R，使P=Q
• B、P＞Q
• C、P≤Q
• D、P＜Q

Answer 1

考点：不等式比较大小

专题：不等式的解法及应用

分析：利用基本不等式的性质可得P=e^x+e^-x≥2，利用两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性可得
Q=2sin2(x+

π

4

)≤2，判断取等号的条件即可判断出．

解答： 解：∵P=e^x+e^-x≥2，当且仅当x=0取等号，
Q=（sinx+cosx）²=2sin2(x+

π

4

)≤2，当且仅当x=kπ+

π

4

（k∈Z）时取等号，
二者取等号的条件不一样，
因此P＞Q．
故选：B．

点评：本题考查了基本不等式的性质、指数函数的单调性、三角函数的性质、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．