Question

过点P（1，3）的动直线l与圆x²+y²=3交于不同两点、B，在线段AB上取一点Q，满足

AP

=-λ

PB

，

AQ

=λ

QB

，λ≠0且λ≠±1，则点Q所在的直线的方程为（　　）

• A、x-3y=3
• B、x-y=3
• C、x+y=3
• D、x+3y=3

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），P（1，3），由

AP

=-λ

PB

，得（1-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-1，y₂-3），从而1-x₁=-λ（x₂-1），3-y₁=-λ（y₂-3），由此能求出点Q所在的直线的方程．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），P（1，3），
∵

AP

=-λ

PB

，∴（1-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-1，y₂-3）
∴1-x₁=-λ（x₂-1），3-y₁=-λ（y₂-3），
即 x₁-λx₂=1-λ，（1）
y₁-λy₂=3（1-λ），（2）
同理x₁+λx₂=（1+λ）x，（3）
y₁+λy₂=（1+λ）y，（4）
（1）×（3），得x12-λ²x22=（1-λ²）x，（5）
（2）×（4），得y12-λ2y22=3（1-λ²）y，（6）
（5）+（6），得x12+y12-λ2(x22+y22)=(1-λ2)（x+3y），
∵C，D在圆O上，∴x12+y12=3，x22+y22=3，
∴3（1-λ²）=（1-λ²）（x+3y）
∵λ≠±1，∴x+3y=3，
∴点Q总在定直线x+3y-3=0上．
故选：D．

点评：本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线与圆的位置关系的合理运用．