Question

11．如图所示，二面角A-BC-D的大小为45°，P为平面ABC内一点，Q为平面BCD内一点，M为BC上一点，已知P在平面BCD内的射影恰好在线段MQ上，设PM=$\sqrt{2}$，∠CMQ=45°，直线PQ与平面BCD所成的角为30°，则PQ的长为（　　）

• A． $\frac{2}{3}\sqrt{6}$
• B． $\frac{3}{4}\sqrt{6}$
• C． $\frac{4}{3}\sqrt{2}$
• D． $\frac{3}{2}\sqrt{2}$

Answer 1

分析 可作出图形，可设E为P在平面BCD内的射影，并过P作PF⊥BC于F，连接EF，PE，可说明∠PFE=45°，可设PE=m，从而可以得到ME=$\sqrt{2}m$，根据PM=$\sqrt{2}$便可求出m=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．可说明∠PQE=30°，从而在RtPQE中可以求出PQ的长度．

解答 解：如图，设P在平面BCD内的射影为E，过P作PF⊥BC，交BC于F，连接EF，PE；
∵PE⊥平面BCD，BC?平面BCD；
∴PE⊥BC，即BC⊥PE；
又BC⊥PF，PE∩PF=P；
∴BC⊥平面PEF；
∴BC⊥EF；
∴∠PFE为二面角A-BC-D的平面角，即∠PFE=45°；
设PE=m，则EF=m；
在Rt△FME中，∠FME=45°，∠MFE=90°，则：ME=$\sqrt{2}m$；
在Rt△PME中，PM=$\sqrt{2}$，∠PEM=90°，则：m²+2m²=2；
∴$m=\frac{\sqrt{6}}{3}$；
PE⊥平面BCD，则∠PQE为PQ和平面BCD所成角；
∴∠PQE=30°，又∠PEQ=90°，PE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
∴$PQ=\frac{PE}{sin30°}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故选：A．

点评 考查线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，二面角的平面角的概念，线面角的概念，以及点在一个平面上的射影的定义，直角三角形的边角关系．