Question

9．已知函数$f（x）=xlnx-x，g（x）=\frac{a}{2}{x^2}-ax（a∈R）$，令h（x）=f（x）-g（x）-ax（a∈R），若h（x）在定义域内有两个不同的极值点，则a的取值范围为（　　）

• A． $（0，\frac{1}{e}）$
• B． $（\frac{1}{e}，1）$
• C． （1，e）
• D． （e，+∞）

Answer 1

分析 求导h′（x）=lnx-ax，由方程lnx-ax=0在（0，+∞）有两个不同根，
方法一：根据函数图象直线y=ax与y=lnx有两个交点，求得y=lnx的切点，即可求得a的取值范围；
方法二：构造函数g（x）=lnx-ax，求导，根据函数的单调性，即可求得a的取值范围．

解答 解：依题意，函数h（x）=f（x）-g（x）-ax=xlnx-x-$\frac{a}{2}$x²的定义域为（0，+∞），
求导h′（x）=lnx-ax，
则方程h′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根，
即方程lnx-ax=0在（0，+∞）有两个不同根．
（解法一）问题转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，
如图：

可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，
只须0＜a＜k．…6分
令切点A（x₀，lnx₀），则k=y′丨_x=x0=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
又k=$\frac{l{nx}_{0}}{{x}_{0}}$，$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{l{nx}_{0}}{{x}_{0}}$，
解得，x₀=1，于是k=$\frac{1}{e}$，
∴0＜a＜$\frac{1}{e}$；                                            
解法二：令g（x）=lnx-ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，
求导g′（x）=$\frac{1}{x}$-ax=$\frac{1-ax}{x}$（x＞0），
若a≤0，可见g′（x）在（0，+∞）上恒成立，
g（x）在（0，+∞）单调增，
此时g（x）不可能有两个不同零点．…5分
若a＞0，在0＜x＜$\frac{1}{a}$时，g′（x）＞0，在x＞$\frac{1}{a}$时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调减，
从而g（x）的极大值，g（x）_极大值=g（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$-1，
又在x→0时，g（x）→-∞，在x→+∞时，g（x）→-∞，于是只须：
g（x）_极大值＞0，即ln$\frac{1}{a}$-1＞0，
∴0＜a＜$\frac{1}{e}$，
综上所述，0＜a＜$\frac{1}{e}$，
故选：A．

点评 本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，利用导数求函数的最值，考查转化思想，分析法证明不等式成立，属于中档题．