Question

在数列{a_n}中，若存在非零整数T，使得a_m+T=a_m对于任意的m∈N^*均成立，那么称数列{a_n}为周期数列，其中T叫数列的周期．若数列{x_n}满足x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2且n∈N），且x₁=2，x₂=a（a∈R，a≠0），当数列{x_n}的正周期最小时，该数列的前2012项的和是（　　）

• A、1344
• B、2684
• C、1342
• D、2688

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：首先要弄清题目中所说的周期数列的含义，然后利用这个定义，针对题目中的数列的周期情况分类讨论，从而将a值确定，进而将数列的前2012项和确定．

解答： 解：若其最小周期为1，则该数列是常数列，即每一项都等于2，此时a=2，
不满足x₃=|x₂-x₁|；
若其最小周期为2，则有a₃=a₁，即|a-2|=2，a-2=2或-2，a=4或a=0，又a≠0，故a=4，
此时该数列的项依次为1，2，1，1，0，…，由此可见，此时它并不是以2为周期的数列；
当a=2时，x₁=2，x₂=2，此时x₃=0，
由x_n+1=|x_n-x_n-1|依次求得数列为2，2，0，2，2，0，2，2，0，…，构成以3为周期的周期数列．
综上所述，当数列{x_n}的周期最小时，其最小周期是3，a=2，又2012=3×670+2，
故此时该数列的前2012项和是670×（2+2+0）+2=2684．
故选：B．

点评：此题考查对新概念的理解，考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．