题目内容

已知log 
1
2
x≥-2且4×22x-9×2x+2>0,
(1)求x的取值的集合A;
(2)x∈A时,求函数f(x)=log2
x
2
•log 
2
x
2
的值域.
(3)g(t)=-t2+2at-a+
17
4
,在(1),(2)问的条件下,若任取x1,x2∈A,总存在t0∈(0,3),
使|f(x1)-f(x2)|≤g(t0)成立,求a的取值范围.
考点:对数函数图象与性质的综合应用
专题:函数的性质及应用,集合
分析:(1)解对数不等式和指数不等式,并求出两个不等式解集的交集可得集合A;
(2)f(x)=log2
x
2
•log 
2
x
2
=(log2x-1)(log2x-2),令t=log2x,结合对数函数的图象和性质及二次当函数的图象和性质可得函数f(x)=log2
x
2
•log 
2
x
2
的值域.
(3)由题意得,gmax≥|f(x1)-f(x2)|max=2-(-
1
4
)=
9
4
,即:t2-2at+a-2≤0有解,令h(t)=t2-2at+a-2,则h(t)min≤0,分类讨论不同情况下a的取值范围,最后综合讨论结果,可得答案.
解答: 解:(1)若log 
1
2
x≥-2,
则0<x≤4,…①
若4×22x-9×2x+2>0,
则2x
1
4
,或2x>2,
即x<-2,或x>1,…②
由①②得:A={x|1<x≤4}-------------------------------(3分)
(2)f(x)=log2
x
2
•log 
2
x
2
=(log2x-1)(log2x-2),
令t=log2x,则t∈(0,2],
此时y=f(x)=(t-1)(t-2)的图象是开口朝上,且以直线t=
3
2
为对称轴的抛物线,
故当t=
3
2
,即x=2
3
2
时,函数f(x)取最小值-
1
4

当t=0,即x=1时,函数最最大值2,
故函数f(x)=log2
x
2
•log 
2
x
2
的值域为[-
1
4
,2)
---------------------------------------------(6分)
(3)由题意得,gmax≥|f(x1)-f(x2)|max=2-(-
1
4
)=
9
4

即:-t2+2at-a+
17
4
9
4
,t2-2at+a-2≤0有解,
令h(t)=t2-2at+a-2,
则h(t)min≤0,而h(t)=t2-2at+a-2=(t-a)2-a2+a-2
①当a∈(0,3)时,h(t)min=-a2+a-2≤0,a≥2或a≤-1,此时:a∈[2,3)
②a≥3时,h(t)min=h(3)=9-6a+a+2=11-5a≤0,a≥
11
5
,但t∈(0,2),最小值取不到,故a>
11
5
;此时:a≥3
③a≤0时,h(t)min=h(0)=a+2≤0,a≤-2,但…t∈(0,2),最小值取不到,故a<-2;此时:a<-2
综上:a∈(-∞,-2)∪[2,+∞)-----------------------------------------(10分)
点评:本题考查的知识点是对数函数图象与性质,解对数不等式,解指数不等式,对数的运算性质,集合的运算,存在性问题,是函数与集合的综合应用,综合性强,运算强度大,转化复杂,属于难题.
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