Question

如图，四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF．连接DF，G为DF的重点，连接EG，CG，EC，求证：|

EG

|=|

CG

|，

EG

⊥

CG

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：证明题,平面向量及应用

分析：以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，设A（0，1），C（1，0），D（1，1），E（p，q），F（m，n），由条件得到m=p+q，n=q-p，从而求出F、G的坐标，运用向量的模的坐标公式和向量的垂直的坐标公式，即可得证．

解答： 证明：以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，
建立如图所示的直角坐标系，
设A（0，1），C（1，0），D（1，1），E（p，q），F（m，n），
由于△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，
则

n-q

m-p

•

q

p

=-1且2（p²+q²）=m²+n²，
解得m=p+q，n=q-p，即F（p+q，q-p），
G（

p+q+1

2

，

q-p+1

2

），
故|

CG

|²=（

p+q-1

2

）2+（

q-p+1

2

）²，
|

EG

|²=（

q+1-p

2

）²+（

q+p-1

2

）²，
显然有|

EG

|=|

CG

|，

CG

=（

p+q-1

2

，

q-p+1

2

），

EG

=（

q+1-p

2

，

-q-p+1

2

）
则

CG

•

EG

=

p+q-1

2

•

q+1-p

2

+

q-p+1

2

•

-q-p+1

2

=0，
故

EG

⊥

CG

．

点评：本题考查平面向量的运用，考查向量的坐标运算，向量的垂直的条件以及数量积的坐标运算和向量的模，属于中档题．