Question

【题目】已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－.若拋物线C：y2＝2px(p>0)上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若以拋物线上任意一点M为切点的直线l与直线l2交于点N，试问在x轴上是否存在定点Q，使Q点在以MN为直径的圆上，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x（2）存在定点Q(1，0)，使Q在以MN为直径的圆上．

【解析】

试题解: （Ⅰ）由定义知为抛物线的准线，抛物线焦点坐标

由抛物线定义知抛物线上点到直线的距离等于其到焦点F的距离.

所以抛物线上的点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点F到直线的距离.…………2分

所以，则=2,所以，抛物线方程为.………………4分

（Ⅱ）设M，由题意知直线斜率存在，设为k,且,所以直线方程为,

代入消x得：

由………………6分

所以直线方程为，令x=-1,又由得

设则

由题意知……………8分

，把代入左式,

得：，……………10分

因为对任意的等式恒成立，

所以

所以即在x轴上存在定点Q（1,0）在以MN为直径的圆上.……………12分