Question

【题目】已知函数.

（1）证明：函数在区间上是减函数；

（2）当时，证明：函数只有一个零点.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）只需证明f(x)的导函数恒成立，且不恒等于0.注意定义域和参数的范围。（2）当时， ，其定义域是，通过求导分析函数的单调性及极值可知函数f(x)的图像与x轴相切于（1,0）点，其余点均在x轴下方，所以只有一个零点。

试题解析：（1）显然函数的定义域为.　

∴ .

∵， ，∴， ，∴，

所以函数在上是减函数.

（2）当时， ，其定义域是，

∴.　

令，即，解得或.

∵，∴舍去.

当时， ；当时， .　

∴函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

∴当时，函数取得最大值，其值为，

当时， ，即，

∴函数只有一个零点.