Question

【题目】已知椭圆的离心率，且经过点，，，，为椭圆的四个顶点（如图），直线过右顶点且垂直于轴．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）为上一点（轴上方），直线，分别交椭圆于，两点，若，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）利用椭圆的离心率和经过的点，列方程组求解即可．（2）设P（2，m），m＞0，得直线PC方程与椭圆联立，利用韦达定理，推出E的坐标， 同理求F点横坐标，由S△PCD＝2S△PEF，转化求解即可．

（1）因的离心率，且经过点，

所以

解得，．所以椭圆标准方程为．

（2）由（1）知椭圆方程为，所以直线方程为，，．

设，，则直线的方程为，

联立方程组消得，

所以点的横坐标为；

又直线的方程为

联立方程组消得，

所以点的横坐标为．

由得，

则有，则，

化简得，解得，因为，所以，

所以点的坐标为．