Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）若对任意的实数，都有成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若，的最大值是，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）和；（Ⅱ）；（Ⅲ）或．

【解析】

（Ⅰ）求得解析式后，根据解析式可画出图象，利用图象确定所求单调区间；（Ⅱ）通过分离变量的方式整理为：；根据对号函数的单调性可求得的最小值，从而得到，进而解得范围；（Ⅲ）得到解析时候，根据二次函数图象和性质，分别在、、、四种情况下构造关于最值的方程，从而解得结果.

（Ⅰ）由题意得：

令，解得：或

可得函数图象如下图所示：

由图象可知，单调递增区间为：和

（Ⅱ）对任意的实数，都有成立

得：，即：

，

令

则在上单调递减，在上单调递增

即

（Ⅲ）由题意得：

对称轴为：

①当，即时

，解得：（舍）

②当，即时

，解得：，符合题意

③当，即时

，解得：

④当，即时

，解得：（舍）

综上可知：或