Question

第一届全国青年运动会将于2015年10月18日在福州举行．主办方在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为C（万元），隔热层厚度为x（厘米），两者满足关系式：C（x）=

k

2x+5

（0≤x≤10，k为常数）．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元.15年的总维修费用为10万元．记f（x）为15年的总费用．（总费用=隔热层的建造成本费用+使用15年的能源消耗费用+15年的总维修费用）
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用f（x）最小，并求出最小值．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由每年的能源消耗费用为C（x），当x=0时，可得k的值；又加装隔热层的费用为C₁（x），所以总费用函数f（x）可表示出来，其定义域可得；
（Ⅱ）对函数f（x）变形，利用基本不等式求得最值，即得所求．

解答： 解：（Ⅰ）依题意，当x=0时，C=6，∴6=

k

5

，∴k=30
故C(x)=

30

2x+5

…（3分）
f(x)=4x+

30

2x+5

•15+10=4x+

450

2x+5

+10，(0≤x≤10)…（6分）
（Ⅱ）f(x)=4x+

450

2x+5

+10=(4x+10)+

450

2x+5

=2(2x+5)+

450

2x+5

≥2

2(2x+5)• 450 2x+5

=60…（10分）
当且仅当2(2x+5)=

450

2x+5

，即当x=5时取得最小值，
∴隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为60万元．…（12分）

点评：本题考查了平均值不等式在函数极值中的应用，在利用平均值不等式求最值时，要注意等号成立的条件是什么．