Question

设正数P₁，P₂，…P2n满足P₁+P₂+P₃+…+P2n=1，求证：p₁log₂p₁+p₂log₂p₂+P₃log₂P₃+…+p_2ⁿlog₂p_2ⁿ≥-n．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：构造函数g（x）=xlog₂x-x+1，可得g′（x）=log₂x+

1

ln2

-1，则当x≥1时，log₂x≥0，

1

ln2

-1＞0，利用导数研究其单调性可得xlog₂x≥x-1．令x=2ⁿP_i，则有2ⁿP_ilog₂（2ⁿP_i）≥2ⁿP_i-1，两边同除以2ⁿ，可得，P_ilog₂（2ⁿP_i）≥P_i-

1

2n

，利用“累加求和”化简整理即可得出．

解答： 证明：构造函数g（x）=xlog₂x-x+1，
∴g′（x）=log₂x+

1

ln2

-1，则当x≥1时，log₂x≥0，

1

ln2

-1＞0，
∴当x≥1时，g′（x）＞0，即g（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴g（x）≥g（1）=0，即xlog₂x-x+1≥0，
∴xlog₂x≥x-1．
令x=2ⁿP_i，则有2ⁿP_ilog₂（2ⁿP_i）≥2ⁿP_i-1，两边同除以2ⁿ，可得，P_ilog₂（2ⁿP_i）≥P_i-

1

2n

，
利用“累加求和”可得：p1log2(2np1)+p₂log₂（2ⁿP₂）+P₃log₂（2ⁿP₃）+…+P_2ⁿlog₂（2ⁿP_2ⁿ）≥p₁+p₂+…+P_2ⁿ-1，
化简可得，（P₁+P₂+…+P_2ⁿ）log2(2n)+P₁log₂P₁+…+P_2ⁿlog₂P_2ⁿ≥（P₁+P₂+…+P_2ⁿ）-1•
∵P₁+P₂+…P_2ⁿ=1，
∴log2（^₂n）+P₁log₂P₁+…+P_2ⁿlog₂P_2ⁿ≥0，
∴n+P₁log₂P₁+…+P_2ⁿlog₂P_2ⁿ≥0，
∴P₁log₂P₁+…+P_2ⁿlog₂P_2ⁿ≥-n．

点评：本题考查了通过构造函数研究函数的单调性证明不等式的方法，考查了“累加求和”方法与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．