Question

给出下列四个命题：
①若y=±

3

x是一个双曲线的两条渐近线，则这个双曲线的离心率为2；
②设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β；
③若P或q 为假命题，则p、q均为假命题；
④若f（x）=1-|x-1|（x＞0），则函数F（x）=xf（x）-1只有一个零点，
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：①，依题意，可求得个双曲线的离心率为2或

2 3

3

，从而可判断①的正误；
②，不妨令m?β，显然m不垂直于β，从而可判断②的正误；
③，利用真值表可判断③的正误；
④，通过对x分0＜x＜1与x≥1的情况的讨论，可求得函数F（x）=xf（x）-1的零点，从而可判断④的正误．

解答： 解：①，∵y=±

3

x是一个双曲线的两条渐近线，
∴

b

a

=

3

或

a

b

=

3

，
若

b

a

=

3

时，不妨令b=

3

，a=1，则c²=a²+b²=4，e=

c

a

=2；
若

a

b

=

3

，同理可得e=

2 3

3

故①错误；
②，α⊥β，α∩β=l，m⊥l，若m?β，显然m不垂直于β，故②错误；
③，若P或q为假命题，则p、q均为假命题，正确；
④，∵f（x）=1-|x-1|（x＞0），
∴当0＜x＜1时，f（x）=x，F（x）=xf（x）-1=x²-1∈（0，1），F（x）=x²-1无零点；
当x≥1时，f（x）=2-x，F（x）=xf（x）-1=-x²+2x-1=-（x-1）²≤0，当且仅当x=1时取等号，
∴当x≥1时，F（x）=xf（x）-1只有一个零点1，故④正确．
故答案为：③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查双曲线的性质、函数的零点、复合命题的真假判断及线面位置关系的应用，属于中档题．