Question

已知函数f（x）=lnx-

a

x

．（a∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若a=-

2

，求函数f（x）在[1，e]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：（I）由f′（x）=

x+a

x2

，分别讨论①a≥0时，②a＜0时的情况，从而求出函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）a=-

2

时，f′（x）=

x- 2

x2

，f（x）在（1，

2

）递减，在（

2

，e）递增，从而得出f（x）_min=f（

2

）=ln（

2

）+1=

1

2

ln2+1．

解答： 解：（I）∵f′（x）=

x+a

x2

，
①a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
②a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＞-a，
∴f（x）在（-a，+∞）递增，
（Ⅱ）a=-

2

时，f′（x）=

x- 2

x2

，
f（x）在（1，

2

）递减，在（

2

，e）递增，
∴f（x）_min=f（

2

）=ln（

2

）+1=

1

2

ln2+1．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．