Question

12．已知F为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左焦点，点A为双曲线虚轴的一个顶点，过点F，A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若$\overrightarrow{FA}=（\sqrt{2}-1）\overrightarrow{AB}$，则此双曲线的离心率是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据双曲线的性质可知：设直线F₁A的方程为：$y=\frac{b}{c}（x+c）$，渐近线方程为$y=\frac{b}{a}x$，联立求得B坐标，$\overrightarrow{FA}=（\sqrt{2}-1）\overrightarrow{AB}$，整理得：$c=（\sqrt{2}-1）\frac{ac}{c-a}$，求得$c=\sqrt{2}a$，由离心率公式可知：e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．

解答 解：由双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，A（0，b），F₁（-c，0），
过点F、A的直线方程的斜率为k=$\frac{b}{a}$，
∴直线F₁A的方程为：$y=\frac{b}{c}（x+c）$①，
双曲线的一条渐近线方程为$y=\frac{b}{a}x$②，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{c}（x+c）}\\{y=\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$，解得交点$B（\frac{ac}{c-a}，\frac{bc}{c-a}）$，
由$\overrightarrow{FA}=（\sqrt{2}-1）\overrightarrow{AB}$，解得$c=（\sqrt{2}-1）\frac{ac}{c-a}$，
整理得：$c=\sqrt{2}a$，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的方程及简单几何性质，考查向量的共线定理，考查计算能力，属于中档题．