Question

3．已知函数f（x）=xlnx．
（1）过点A（-e^-2，0）作函数y=f（x）图象的切线，求切线方程．
（2）若f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设切点T（x₀，y₀）则k_AT=f′（x₀），由此能求出切线方程
（2）由f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，知a≤lnx+x+$\frac{6}{x}$，设g（x）=lnx+x+$\frac{6}{x}$，由此能够求出实数a的取值范围．

解答 解：设切点T（x₀，y₀）则k_AT=f′（x₀），
∴$\frac{{x}_{0}ln{x}_{0}}{{x}_{0}+\frac{1}{{e}^{2}}}$=lnx₀+1即e²x₀+lnx₀+1=0
设h（x）=e²x+lnx+1，当x＞0时h′（x）＞0，
∴h（x）是单调递增函数，
∴h（x）=0最多只有一个根，
又h（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=e²×$\frac{1}{{e}^{2}}$+ln$\frac{1}{{e}^{2}}$+1=0，
∴x₀=$\frac{1}{{e}^{2}}$
由f'（x₀）=-1得切线方程是x+y+$\frac{1}{{e}^{2}}$=0．
（2）∵f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，
∴a≤lnx+x+$\frac{6}{x}$，
设g（x）=lnx+x+$\frac{6}{x}$，
则g′（x）=$\frac{{x}^{2}+x-6}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+3）（x-2）}{{x}^{2}}$，
当x＞2时，g′（x）＞0，函数g（x）是增函数，
当0＜x＜2时，g′（x）＜0，函数g（x）是减函数，
∴a≤g（2）=5+ln2．
即实数a的取值范围是（-∞，5+ln2]．

点评 本题考查利用导数求函数的单调区间和实数的取值范围的方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．