Question

已知等比数列{a_n}的公比为q，a₁=

3

2

，其前n项和为S_n（n∈N^*），且S₂，S₄，S₃成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=S_n-

1

Sn

（n∈N^*），求b_n的最大值与最小值．

Answer 1

考点：等比数列的性质,数列的函数特性

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用等比数列的前n项和公式表示出S₂，S₄，S₃，然后根据S₂，S₄，S₃成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，将表示出的S₂，S₄，S₃代入得到关于a₁与q的关系式，由a₁≠0，两边同时除以a₁，得到关于q的方程，求出方程的解，即可得到数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）S_n=1-(-

1

2

)n，分类讨论，利用函数的单调性，即可求出b_n的最大值与最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，q≠1，则
∵S₂，S₄，S₃成等差数列，
∴2S₄=S₂+S₃，
又数列{a_n}为等比数列，
∴4（a₁+a₁q+a₁q²+a₁q³）=（a₁+a₁q）+（a₁+a₁q+a₁q²），
整理得：2q²-q-1=0，
解得：q=1或q=-

1

2

，
∴a_n=

3

2

•(-

1

2

)n-1；

（Ⅱ）S_n=1-(-

1

2

)n，
n为奇数时，S_n=1+

1

2n

，随着n的增大而减小，所以1＜S_n≤S₁=

3

2

，
因为y=x-

1

x

在（0，+∞）上为增函数，b_n=S_n-

1

Sn

（n∈N^*），
所以0＜b_n≤

5

6

；
n为偶数时，S_n=1-

1

2n

，随着n的增大而增大，所以S₂≤S_n＜1，
因为y=x-

1

x

在（0，+∞）上为增函数，b_n=S_n-

1

Sn

（n∈N^*），
所以-

7

12

≤b_n＜0；
所以-

7

12

≤b_n＜0或0＜b_n≤

5

6

，
所以b_n的最大值为

5

6

，最小值为-

7

12

．

点评：此题考查了等差数列的性质，等比数列的通项公式、求和公式，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．