Question

已知等比数列{a_n}，S_n为其前n项和，S₃=10，S₆=30，则S₉=（　　）

• A、50
• B、60
• C、70
• D、90

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：方法1：根据等比数列的定义，由S₃=10，S₆=30，联立方程解得首项a₁和公比q，代入求S₉即可，
方法2：利用等比数列的性质S₃，S₆-S₃，S₉-S₆也成等比，建立方程关系进行计算，也能直接求S₉．

解答： 解：方法1：（方程组法）
设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比q，
若公比q=1，则S₆=2S₃，不成立，∴q≠1．
由S₃=10，S₆=30得

a1(1-q3) 1-q =10 ① a1(1-q6) 1-q =30  ②

，
两式相除得

1-q6

1-q3

=

(1-q3)(1+q3)

1-q3

=3，
即1+q³=3，解得q³=2，
则S9=

a1(1-q9)

1-q

    ③
③除以①式得：

S9

10

=

1-q9

1-q3

=

1-23

1-2

=

-7

-1

=7，
∴S₉=70．
方法2：（等比数列性质法）
在等比数列中，∵S₃=10≠0，S₆=30≠0，
∴S₃，S₆-S₃，S₉-S₆也成等比数列，
即10，20，S₉-30也成等比数列，
∴20²=10（S₉-30）=400，
即S₉-30=40，
∴S₉=70．
故选：C．

点评：本题主要考查等比数列的前n项和的应用，要熟练掌握利用方程组法和性质法解等比数列的基本运算，考查学生的运算能力．