Question

1+（1+2）+（1+2+2²）+…+（1+2+2²+…+2^n-1）=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的前n项和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：先研究通项：1+2+2²+…+2^n-1=

1-2n

1-2

=2n-1，然后各项按此规律变形可求和．

解答： 解：∵1+2+2²+…+2^n-1=

1-2n

1-2

=2n-1，
∴原式=（2-1）+（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n
=

2(1-2n)

1-2

-n
=2ⁿ⁺¹-2-n，
故答案为：2ⁿ⁺¹-2-n．

点评：本题考查数列的求和，属中档题，熟记等比数列的求和公式解决该题的基础．