Question

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a²=b²+c²-bc．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2，求bsinB+csinC的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）△ABC中，由条件利用余弦定理求得cosA=

1

2

，可得A=

π

3

．
（Ⅱ）由条件利用正弦定理可得 bsinB+csinC=

3

4

（b²+c²），再由条件利用基本不等式求得

3

4

（b²+c²）≤2

3

，可得bsinB+csinC的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）△ABC中，∵a²=b²+c²-bc，∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，∴A=

π

3

．
（Ⅱ）若a=2，则2r=

a

sinA

=

4 3

3

，∴bsinB+csinC=

3

4

（b²+c²）．
∵b²+c²-4=bc≤

b2+c2

2

，∴b²+c²-≤8，∴

3

4

（b²+c²）≤2

3

，
即bsinB+csinC的最大值为2

3

．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，基本不等式，已知三角函数值求角的大小，属于基础题．