Question

11．已知参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a（1-{t}^{2}）}{1+{t}^{2}}}\\{y=\frac{2\sqrt{3}t}{1+{t}^{2}}}\end{array}\right.$（a∈R，t为参数）表示离心率为$\frac{1}{2}$的椭圆C，直线l经过C的右焦点F₂，且与C交于M、N两点．
（1）求a的值；
（2）求$\overrightarrow{{F}_{2}M}$$•\overrightarrow{{F}_{2}N}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令$\frac{1-{t}^{2}}{1+{t}^{2}}$=cosθ，$\frac{2t}{1+{t}^{2}}$=sinθ，求出椭圆的普通方程，根据离心率列方程解出a；
（2）求出直线l的参数方程，代入椭圆的普通方程，利用参数的几何意义和根与系数的关系得出$\overrightarrow{{F}_{2}M}$$•\overrightarrow{{F}_{2}N}$关于参数α的函数，求出函数的最值．

解答 解：（1）令$\frac{1-{t}^{2}}{1+{t}^{2}}$=cosθ，$\frac{2t}{1+{t}^{2}}$=sinθ，则椭圆的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
∴椭圆的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
∵椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，且焦点在x轴上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}＞3}\\{\frac{\sqrt{{a}^{2}-3}}{|a|}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得a=±2．
（2）椭圆的右焦点F₂（1，0）．
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）．
把直线l的参数方程代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$得：（3+sin²α）t²+6cosα•t-9=0．
∴t₁t₂=-$\frac{9}{3+si{n}^{2}α}$．
∴$\overrightarrow{{F}_{2}A}•\overrightarrow{{F}_{2}B}$=|t₁||t₂|cos180°=-|t₁t₂|=t₁t₂=-$\frac{9}{3+si{n}^{2}α}$．
∴当sin²α=0时，$\overrightarrow{{F}_{2}M}$$•\overrightarrow{{F}_{2}N}$取得最小值-3，当sin²α=1时，$\overrightarrow{{F}_{2}M}$$•\overrightarrow{{F}_{2}N}$取得最大值-$\frac{9}{4}$．
故$\overrightarrow{{F}_{2}M}$$•\overrightarrow{{F}_{2}N}$的取值范围是[-3，-$\frac{9}{4}$]．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的转化，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．