Question

2．已知拋物线C：x²=2py（p＞0）上的一点M（m，1）到焦点F的距离为2．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）直线l过抛物线C的焦点F与抛物线交于A，B两点，且AA₁，BB₁都垂直于直线${l_1}：y=-\frac{p}{2}$，垂足为A₁，B₁，直线l₁与y轴的交点为Q，求证：$\frac{{S_{△QAB}^2}}{{{S_{△QA{A_1}}}•{S_{QBB{\;}_1}}}}$为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据抛物线的定义，可得1+$\frac{p}{2}$=2，求出p，即可即可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+1，代入抛物线方程，可得x²-4kx-4=0，利用韦达定理，分别求出面积，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）∵拋物线C：x²=2py（p＞0）上的一点M（m，1）到焦点F的距离为2，
∴1+$\frac{p}{2}$=2，
∴p=2，
∴抛物线C：x²=4y；
证明：（Ⅱ）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l：y=kx+1，
代入抛物线方程，可得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=-4k，x₁x₂=-4，
∴y₁+y₂=4k²+2，y₁y₂=1，
∵Q（0，-1）到直线l的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
∴S_△QAB=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|•$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=|x₁-x₂|．
∵|AA₁|=y₁+1，|BB₁|=y₂+1，
∴$\frac{{S_{△QAB}^2}}{{{S_{△QA{A_1}}}•{S_{QBB{\;}_1}}}}$=$\frac{|{x}_{1}-{x}_{2}{|}^{2}}{\frac{1}{2}（{y}_{1}+1）|{x}_{1}|•\frac{1}{2}（{y}_{2}+1）|{x}_{2}|}$=$\frac{4（16{k}^{2}+16）}{4（4{k}^{2}+4）}$=4，
∴$\frac{{S_{△QAB}^2}}{{{S_{△QA{A_1}}}•{S_{QBB{\;}_1}}}}$为定值．

点评 本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积是计算，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．