Question

3．下列参数方程化成普通方程（其中t与φ是参数），并说明各表示什么曲线：
（1）$\left\{\begin{array}{l}{x=3-2t}\\{y=-1-4t}\end{array}\right.$ 
（2）$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$
（3）$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a}{2}（t+\frac{1}{t}）}\\{y=\frac{b}{2}（t-\frac{1}{t}）}\end{array}\right.$
（4）$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ+2}\\{y=2sinφ-3}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根据各式中x，y的关系消参数得出普通方程．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=3-2t}\\{y=-1-4t}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t=\frac{x-3}{-2}}\\{t=\frac{y+1}{-4}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{x-3}{-2}=\frac{y+1}{-4}$，即2x-y=7，表示直线；
（2）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosφ=\frac{x}{4}}\\{sinφ=\frac{y}{3}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，表示椭圆；
（3）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a}{2}（t+\frac{1}{t}）}\\{y=\frac{b}{2}（t-\frac{1}{t}）}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t+\frac{1}{t}=\frac{2x}{a}}\\{t-\frac{1}{t}=\frac{2y}{b}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}+2=\frac{4{x}^{2}}{{a}^{2}}}\\{{t}^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}-2=\frac{4{y}^{2}}{{b}^{2}}}\end{array}\right.$，
两式相减得：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，表示双曲线；
（4）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ+2}\\{y=2sinφ-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosφ=\frac{x-2}{5}}\\{sinφ=\frac{y+3}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{（x-2）^{2}}{25}+\frac{（y+3）^{2}}{4}=1$，表示椭圆．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的转化，属于基础题．