Question

已知a²+b²=1，c²+d²=1．
（Ⅰ）求证：ab+cd≤1．
（Ⅱ）求a+

3

b的取值范围．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）利用综合法，结合基本不等式，即可得出结论；
（Ⅱ）设

m

=（a，b），

n

=（1，

3

），利用|

m

?

n

|≤|

m

|?|

n

|，可求a+

3

b的取值范围．

解答： （I）证明：∵a²+b²≥2ab，c²+d²≥2cd，
∴a²+b²+c²+d²≥2（ab+cd），当且仅当a=b=c=d=

2

2

时取“=”…（2分）
又∵a²+b²=1，c²+d²=1
∴2（ab+cd）≤2                                  …（4分）          
∴ab+cd≤1                                     …（5分）
（Ⅱ）解：设

m

=（a，b），

n

=（1，

3

），
∵|

m

?

n

|≤|

m

|?|

n

|，…（8分）
∴|a+

3

b|≤2

a2+b2

=2，
∴-2≤a+

3

b≤2
∴a+

3

b的取值范围为[-2，2]．                   …（10分）

点评：本题考查不等式的证明，考查求a+

3

b的取值范围，正确运用基本不等式，合理构造向量是关键．