Question

数列{a_n}的前n项为S_n，且S_n=2a_n-1，n∈N^*，使得

aman

=2a₁，则

1

m

+

9

n

的最小值为（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、不存在

Answer 1

考点：基本不等式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：利用递推关系可得a_n，再利用指数运算法则可得m+n=4，再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．

解答： 解：由S_n=2a_n-1，n∈N^*，
取n=1时，a₁=2a₁-1，解得a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），
化为a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，公比q=2．
∴an=a1qn-1=1×2^n-1=2^n-1．
∵

aman

=2a₁，
∴

2m-1•2n-1

=2×1，
∴2^m+n-2=2²．
∴m+n-2=2，
化为m+n=4．
∴

1

m

+

9

n

=

1

4

(m+n)(

1

m

+

9

n

)=

1

4

(10+

n

m

+

9m

n

)≥

1

4

(10+2

n m • 9m n

)=4，当且仅当n=3m=3时取等号．
∴

1

m

+

9

n

的最小值为4．
故选：C．

点评：本题考查了数列的递推关系、指数运算法则可、“乘1法”和基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．