Question

已知函数f（x）=-x²+2|x-a|，当a＞0时，若对?x∈[0，+∞），不等式f（x-1）≥2f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得，x∈[0，+∞）时，不等式x²+2x-1+2|x-（a+1）|-4|x-a|≥0恒成立 ①．再分（1）当0≤x≤a时、当（2）当x≥a+1、（3）当a＜x＜a+1时三种情况，分别求得a的范围，再取交集，即为所求．

解答： 解：由题意可得，x∈[0，+∞）时，不等式x²+2x-1+2|x-（a+1）|-4|x-a|≥0恒成立 ①．
（1）当0≤x≤a时，①即 x²+4x-2a+1≥0恒成立，由于当x=0时，不等式左边取得最小为-2a+1，
再由-2a+1≥0求得 a≤

1

2

，∴0＜a≤

1

2

．
（2）当x≥a+1，①即x²+2a-3≥0 恒成立，由于当x=a+1时，不等式的左边取得最小值为a²+4a-2，
再由 a²+4a-2≥0求得a≥

6

-2．
（3）当a＜x＜a+1时，①即 x²-4x+6a+1≥0恒成立，该不等式对应的二次函数的图象开口向上，
对称轴为x=2，
若a＞2，则当x=a时，不等式的左边取得最小值为a²+2a+1，由为a²+2a+1≥0，求得a∈R，
故此时有 a＞2．
若a≤2≤a+1，则当x=2时，不等式的左边取得最小值为6a-3，由为6a-3≥0，求得a≥

1

2

，
故此时有1≤a≤2．
若a+1＜2，则当x=a+1时，不等式左边取得最小值为a²+4a-2≥0，求得a≥

6

-2，
故此时有

6

-2＜a＜1．
故在此分类条件下，a≥-2+

6

．
综合（1）、（2）、（3），可得

6

-2≤a≤

1

2

，即a的范围为[

6

-2，

1

2

]．

点评：本题主要考查二次函数的性质的应用，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于基础题．