Question

已知函数f（x）=（a²-a+1）x^a+2为幂函数，且为奇函数，设函数g（x）=f（x）+x．
（1）求实数a的值及函数g（x）的零点；
（2）是否存在自然数n，使g（n）=900？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：幂函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据幂函数的定义，和奇函数的定义先求出a的值，再根据零点求法，零点转化为g（x）=0的实数根，解方程即可
（2）根据函数为增函数，然后验证f（9）=738，f（10）=1010，即可得出．

解答： 解：（1）令a²-a+1=1，解得 a=0或a=1．…（1分）
当a=0时，f（x）=x²，它不是奇函数，不符合题意；
当a=1时，f（x）=x³，它是奇函数，符合题意．
所以a=1．  …（3分）
此时g（x）=x³+x．
令g（x）=0，即 x³+x=0，解得 x=0．
所以函数g（x）的零点是x=0．…（5分）
（2）设函数y=x³，y=x．因为它们都是增函数，所以g（x）是增函数．…（7分）
又因为 g（9）=738，g（10）=1010．    …（9分）
由函数的单调性，可知不存在自然数n，使g（n）=900成立． …（10分）

点评：本题主要考查函数的零点与方程的实数根的联系，以及函数的单调性与函数值问题．