已知曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=acosθ\\ y=bsinθ\end{array}$.且曲线C1上的点$M(1.\frac{{\sqrt{3}}}{2})$对应的参数θ=$\frac{π}{3}$.以原点O为极点.x轴正半轴为极轴.建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．(1)写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=acosθ\\ y=bsinθ\end{array}$（a＞b＞0，θ为参数），且曲线C₁上的点$M（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$对应的参数θ=$\frac{π}{3}$，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（1）写出曲线C₁的极坐标方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点M₁、M₂的极坐标分别为$（1，\frac{π}{2}）$和（2，0），直线M₁M₂与曲线C₂交于P、Q两点，射线OP与曲线C₁交于点A，射线OQ与曲线C₁交于点B，求$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$的值．

分析（1）利用三种方程的互化方法，即可写出曲线C₁的极坐标方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（2）$A（{ρ_1}，θ），B（{ρ_2}，θ+\frac{π}{2}）$分别代入$\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}θ}}{4}+{ρ^2}{sin^2}θ=1$中，即可求$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$的值．

解答解：（1）$\left\{\begin{array}{l}1=acos\frac{π}{3}\\ y=bsin\frac{π}{3}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\end{array}\right.⇒{C_1}：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$
因此C₁的极坐标方程为$\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}θ}}{4}+{ρ^2}{sin^2}θ=1$${C_2}：{x^2}+{y^2}=2y$
（2）M₁（0，1），M₂（2，0）⇒M₁M₂：x+2y-2=0
恰好过${C_2}：{x^2}+{y^2}=2y$的圆心，∴OP⊥OQ⇒OA⊥OB，
∴$A（{ρ_1}，θ），B（{ρ_2}，θ+\frac{π}{2}）$
分别代入$\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}θ}}{4}+{ρ^2}{sin^2}θ=1$中，
∴$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}=\frac{1}{ρ_1^2}+\frac{1}{ρ_2^2}=\frac{{{{cos}^2}θ}}{4}+{sin^2}θ+\frac{{{{sin}^2}θ}}{4}+{cos^2}θ=\frac{5}{4}$．

点评本题考查三种方程的互化，考查极坐标方程的运用，属于中档题．