Question

18．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ACB，AA₁=A₁C=AC=2$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{3}$，且A₁C⊥BC，点E，F分别为AB，A₁C₁的中点．
（1）求证：BC⊥平面ACA₁；
（2）求证：EF∥平面BB₁C₁C；
（3）求四棱锥A₁-BB₁C₁C的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出A₁D⊥AC，A₁D⊥BC，A₁C⊥BC，由此能证明BC⊥平面ACA₁．
（2）设B₁C₁的中点为G，连结FG、GB，推导出四边表FGBE是平行四边形，从而EF∥BG，由此能证明EF∥平面BB₁C₁C．
（3）四棱锥A₁-BB₁C₁C的体积：${V}_{{A}_{1}-B{B}_{1}{C}_{1}C}$=$2{V}_{{A}_{1}-ABC}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵在△AA₁C₁中，AA₁=A₁C，取D为AC中点，
∴A₁D⊥AC，
∵侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，
∴侧面AA₁C₁C∩底面ABC=AC，
∴A₁D⊥平面ABC，
∵BC在平面ABC上，∴A₁D⊥BC，
又A₁C⊥BC，A₁C、AD都在平面ACA₁上，且A₁C∩AD=D，
∴BC⊥平面ACA₁．
（2）设B₁C₁的中点为G，连结FG、GB，
在四边形FGBE中，FG∥A₁B₁，且FG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$A₁B₁，
又∵EB∥A₁B₁，且EB=$\frac{1}{2}$A₁B₁，
∴$FG\underset{∥}{=}EB$，∴四边表FGBE是平行四边形，
∴EF∥BG，
又∵BG?平面BB₁C₁C，EF?平面BB₁C₁C，
∴EF∥平面BB₁C₁C．
解：（3）∵AA₁=A₁C=AC=2$\sqrt{3}$，
∴${A}_{1}D=\frac{\sqrt{3}}{2}AC=3$，
又由（1）知BC⊥平面ACA₁，AC?平面ACA₁，
∴BC⊥AC，
又BC=$\sqrt{3}$，∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AC×BC=3$，
∴四棱锥A₁-BB₁C₁C的体积：
${V}_{{A}_{1}-B{B}_{1}{C}_{1}C}$=$2{V}_{{A}_{1}-ABC}$=$\frac{2}{3}{S}_{△ABC}×{A}_{1}D=6$．

点评 本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．