Question

13．方程sin4x=sin2x在$（0，\frac{3}{2}π）$上的解集是$\left\{{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}，π，\frac{5π}{6}，\frac{7π}{6}}\right\}$．

Answer 1

分析 由题意利用二倍角的正弦公式可得sin2x=0或cos2x=$\frac{1}{2}$，结合2x∈（0，3π），求得x的值．

解答 解：方程sin4x=sin2x，即方程2sin2xcos2x=sin2x，即sin2x=0或cos2x=$\frac{1}{2}$．
∵x∈（0，$\frac{3π}{2}$），∴2x∈（0，3π），
当sin2x=0，则2x=π，或2π，∴x=$\frac{π}{2}$，或π，
当cos2x=$\frac{1}{2}$，则2x=$\frac{π}{3}$，或$\frac{5π}{3}$，或$\frac{7π}{3}$，∴x=$\frac{π}{6}$，或$\frac{5π}{6}$，或$\frac{7π}{6}$，
故方程sin4x=sin2x在$（0，\frac{3}{2}π）$上的解集是 $\left\{{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}，π，\frac{5π}{6}，\frac{7π}{6}}\right\}$，
故答案为：$\left\{{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}，π，\frac{5π}{6}，\frac{7π}{6}}\right\}$．

点评 本题主要考查二倍角的公式的应用，三角方程的解法，属于中档题．