Question

12．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）
（1）以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴（与直角坐标系xOy取相同的长度单位）建立极坐标系，若点P的极坐标为（4，$\frac{π}{3}$），判断点P与直线l的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，利用曲线C的参数方程求Q到直线l的距离的最大值与最小值的差．

Answer 1

分析 （1）将P的极坐标（4，$\frac{π}{3}$），转化成直角坐标P（2，2$\sqrt{3}$），将参数方程转化成直角坐标，由P点坐标不满足直线l的方程，P不在直线l上；
（2）将C的参数方程转化成直角坐标方程，取得圆心坐标及半径，由点到直线记得距离公式求得圆心到直线的距离d，即可求得点Q到直线l的距离的最小值为d-r和最大值为d+r，两式相减即可求得结果．

解答 解：（1）把点P的极坐标（4，$\frac{π}{3}$），转化成直角坐标P（2，2$\sqrt{3}$），
把直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\end{array}\right.$，化为直角坐标方程为y=$\sqrt{3}$x+1，
由于点P的坐标不满足直线l的方程，故P不在直线l上，
（2）点Q是曲线C上的一个动点，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
曲线C的直角坐标方程为：（x-2）²+y²=1，
∴曲线C表示已（2，0）为圆心，1为半径的圆，
圆心到直线的距离为d=$\frac{丨2\sqrt{3}-0+1丨}{\sqrt{3+1}}$=$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$，
故点Q到直线l的距离的最小值为d-r=$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$，
最大值为d+r=$\sqrt{3}$+$\frac{3}{2}$，
∴曲线C的参数方程求Q到直线l的距离的最大值与最小值的差2．

点评 本题考查点的极坐标化为直角坐标，参数方程转化成直角坐标方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．