Question

3．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）$为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求$f（\frac{π}{8}）$的值；
（2）将函数$y=f（x+\frac{π}{6}）$的图象，经怎样的变化得到函数y=sinx的图象（写出两种方法）．
（3）已知函数g（x）=Asin（wx+ϕ）+B，A≠0，w≠0
①写出g（x）的对称中心的坐标及对称轴方程；
②若g（x）为奇函数，写出应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）先用两角和公式对函数f（x）的表达式化简得f（x）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$），利用偶函数的性质即f（x）=f（-x）求得ω，进而求出f（x）的表达式，把x=$\frac{π}{8}$代入即可．
（2）根据三角函数图象的变化可得函数y=f（x）的解析式；
（3）根据三角函数的对称中心和对称轴方程得到关于w和∅的方程求出x．

解答 解：（Ⅰ）函数$f（x）=\sqrt{3}sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）$=2[$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（ωx+φ）-$\frac{1}{2}$cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$）．
∵f（x）为偶函数，
∴对x∈R，f（-x）=f（x）恒成立，
∴sin（-ωx+φ-$\frac{π}{6}$）=sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$）．
即-sinωxcos（φ-$\frac{π}{6}$）+cosωxsin（φ-$\frac{π}{6}$）=sinωxcos（φ-$\frac{π}{6}$）+cosωxsin（φ-$\frac{π}{6}$），
整理得sinωxcos（φ-$\frac{π}{6}$）=0．
∵ω＞0，且x∈R，所以cos（φ-$\frac{π}{6}$）=0．
又∵0＜φ＜π，故φ-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$．
∴f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{2}$）=2cosωx．
由题意得$\frac{2π}{ω}$=π，所以ω=2．
故f（x）=2cos2x．
∴f（$\frac{π}{8}$）=2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$．
（Ⅱ）将函数$y=f（x+\frac{π}{6}）$=2cos2（x$+\frac{π}{6}$）的图象，向右平移$\frac{π}{3}$，得到y=2sin2x图象，
然后将其图象的所有点横坐标扩大原来的2倍，纵坐标也缩小原来的$\frac{1}{2}$，得到函数y=sinx的图象；
或者将函数$y=f（x+\frac{π}{6}）$=2cos2（x$+\frac{π}{6}$）的图象将其图象的所有点横坐标扩大原来的2倍，纵坐标也缩小原来的$\frac{1}{2}$，得到函数y=cos（x+$\frac{π}{6}$）的图象，
然后向右平移$\frac{2π}{3}$，得到y=cos（x-$\frac{2π}{3}+\frac{π}{6}$）=sinx图象．；
（3）已知函数g（x）=Asin（wx+ϕ）+B，A≠0，w≠0
①令由wx+Φ=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z
解得：x=$\frac{kπ}{2ω}-\frac{∅}{ω}$，k∈Z
∴对称轴方程：x=$\frac{kπ}{2ω}-\frac{∅}{ω}$，k∈Z
由wx+∅=kπ，k∈Z，解得x=$\frac{kπ}{w}-\frac{∅}{w}$，k∈Z．
对称中心坐标：（$\frac{kπ}{w}-\frac{∅}{w}$，-B），k∈Z；
②若g（x）为奇函数，则∅=kπ，且B=0．

点评 本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，及图象变换，考查函数的奇偶性与周期性，重点考查三角函数的平移变换，属于中档题．