Question

1．设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）-log₂x]=6，若x₀是方程f（x）+f（x-2）=10的一个解，且x₀∈（a，a+1）（a∈N^*），则a=（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 题意可得f（x）-log₂x为定值，设为t，代入可得t=4，进而可得函数的解析式，得到关于x₀的方程，求出x₀的值，从而求出a即可．

解答 解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=6，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）-log₂x为定值，
设t=f（x）-log₂x，则f（x）=t+log₂x，
又由f（t）=6，可得t+log₂t=6，
可解得t=4，故f（x）=4+log₂x，f（x-2）=4+log₂（x-2），
又x₀是方程f（x）+f（x-2）=10的一个解，
∴4+log₂x₀+4+log₂（x₀-2）=10，
∴${log}_{2}^{{x}_{0}{（x}_{0}-2）}$=2，∴${{x}_{0}}^{2}$-2x₀-4=0，
解得：x₀=1-$\sqrt{5}$（舍）或x₀=1+$\sqrt{5}$，
而3＜1+$\sqrt{5}$＜4，
故a=3，
故选：B．

点评 本题考查函数的零点的判断，涉及对数的运算和性质，属中档题．