Question

5．若直线$\sqrt{3}$x-y-1=0与x-ay=0的夹角是$\frac{π}{6}$，则实数a的值为$\sqrt{3}$或0．

Answer 1

分析 当直线x-ay=0的斜率不存在时，a=0，倾斜角为90°，而直线$\sqrt{3}$x-y-1=0的倾斜角为60°，满足条件．当直线x-ay=0的斜率是$\frac{1}{a}$时，由两条直线的夹角公式求出a的值．

解答 解：直线$\sqrt{3}$x-y-1=0的斜率为$\sqrt{3}$，直线x-ay=0的斜率不存在或是$\frac{1}{a}$．
当直线x-ay=0的斜率不存在时，a=0，倾斜角为90°，而直线$\sqrt{3}$x-y-1=0的倾斜角为60°，满足条件．
当直线x-ay=0的斜率是$\frac{1}{a}$时，由两条直线的夹角公式可得tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}-\frac{1}{a}}{1+\sqrt{3}•\frac{1}{a}}$，解得a=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$或0．

点评 本题主要考查两直线的夹角公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．