Question

10．研究表明：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为v（x）=0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时；当20≤x≤200时，车流速度v（x）是车流密度x的一次函数．
（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式．
（2）设车流量f（x）=v（x）•x，求当车流密度为多少时，车流量最大？

Answer 1

分析 （1）设v（x）=ax+b．利用x的范围，列出方程组求解a，b，即可得到函数的解析式．
（2）求出车流量f（x）=v（x）•x的表达式，然后求解最大值即可．

解答 解：（1）由题意，得当0≤x≤20时，v（x）=60；
当20≤x≤200时，
设v（x）=ax+b．
由已知$\left\{\begin{array}{l}200a+b=0\\ 20a+b=60\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{3}\\ b=\frac{200}{3}\end{array}\right.$，
故函数v（x）的表达式为v（x）=$\left\{\begin{array}{l}60，0≤x≤20\\ \frac{1}{3}（200-x），20＜x≤200\end{array}\right.$
（2）$f（x）=v（x）•x=\left\{\begin{array}{l}60x，0≤x≤20\\-\frac{1}{3}{（x-100）^2}+\frac{10000}{3}，20＜x≤200\end{array}\right.$，
当0≤x≤20时，f（x）1200．
当20＜x≤200时，$-\frac{1}{3}{（x-100）}^{2}+\frac{10000}{3}≤\frac{10000}{3}$．
所以$f{（x）_{max}}=f（100）=\frac{10000}{3}$．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，二次函数的性质以及最值的求法，分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力．